Uczniowskie Forum Naukowe - Sito Erastostenesa i Liczby Pierwsze

W ramach Uczniowskiego Forum Naukowego klasa 2cP przygotowała wykład oraz ćwiczenia dotyczące Erastostenesa, liczb pierwszych oraz Sita Erastostenesa.

 

 

Autorkami wykładu są Weronika Kaczka, Dominika Jendrysko oraz Gabrysia Krupa.

 

Eratostenes był greckim matematykiem, astronomem, filozofem, geografem ​i poetą. Urodził się w Cyrenie. W wieku 82 lat, nie mogąc pogodzić się ​z utratą wzroku więc zagłodził się na śmierć.

 

Dokonania:​

• wyznaczył obwód Ziemi oraz oszacował odległość od Słońca ​i Księżyca do Ziemi
  ​
• twierdził, że, płynąc na zachód od Gibraltaru, można dotrzeć do Indii​ 
• jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego, czyli wydłużonego o jeden dodatkowy dzień w kalendarzu​
• opracował katalog 675 gwiazd​
• skonstruował mezolabium (urządzenie mechaniczne składające się ​
  z trzech jednakowych prostokątnych ramek umieszczonych w większej ​
  w taki sposób, aby możliwe było ich przesuwanie, umożliwia to podwojenie sześcianu).​

 

Najważniejsze dzieła:

• Geographica – trzytomowe dzieło zawierające podstawy geografii matematycznej i geografii fizycznej ​
• Catasterismi – dzieło astronomiczne​
• Peri komodias – rozprawa o dawnej komedii

 

Liczba pierwsza to taka liczba naturalna p większa od jedności, której jedynymi dziennikami są 1 oraz p. Każdą liczbę naturalną większą od jedności, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną.​

•  Liczba 0 i 1 z definicji nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.​
• Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. ​
• Problem liczb pierwszych polega na ich rozmieszczeniu wśród liczb naturalnych. Nikt nie opracował dotąd żadnego wzoru pozwalającego na wyszukiwanie kolejnych liczb pierwszych. Istnieją wzory wyszukiwania liczb pierwszych o określonych właściwościach, nie ma jednak wzoru, który by dla każdego argumentu generował by liczbę pierwszą.

 

Liczby pierwsze:

 

Liczby Mersenne'a​

Niech liczba M_n = 2ⁿ - 1​, Warunkiem koniecznym, żeby liczba M_n była pierwsza jest, by n  n było liczbą pierwszą. Na przykład: n=2 M₂=2²-1=3, n=3 M₃=2³-1=7, n=5 M₅=2⁵-1=31

 

Liczby pierwsze bliźniacze.​

Liczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze różniące się o 2.​ Na przykład:  (3, 5); (5, 7); (59, 61); (1619, 1621)​

 

Liczby pierwsze czworacze​

Liczby czworacze to takie liczby: p , p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą.​

Na przykład:  5, 7, 11, 13;   821, 823, 827, 829​

 

​Liczby pierwsze izolowane​

Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4.​

Na przykład  89, 157, 173.​

 

Liczby Sophie Germain​

Liczba pierwsza p jest liczbą Sophie Germain, jeśli liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą.​

 

Liczby pierwsze lustrzane​

To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności.​

Na przykład: 13 i 31; 17 i 71.​

 

Liczby pierwsze palindromiczne​

To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności.​

Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929.​

 

SITO ERATOSTENESA​

Najpopularniejszym algorytmem wyznaczania liczb pierwszych jest Sito Eratostenesa. Oto algorytm :​

 

 

Ze zbioru liczb naturalnych z przedziału [ 2 , n ] wybieramy najmniejszą, czyli 2, i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej, to jest 4, 6, 8…​

 

Z pozostałych liczb wybieramy najmniejszą niewykreśloną liczbę (3) i usuwamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej: 6 , 9 , 12 , …. ​3. 

 

 

Według tej samej procedury postępujemy dla liczby 5.​

Następnie dla 7 aż do sprawdzenia wszystkich niewykreślonych wcześniej liczb. 

 

 

 

Wykreślanie powtarzamy do momentu, gdy liczba i , której wielokrotność wykreślamy, będzie większa niż √n .

 

Dla danej liczby n wszystkie niewykreślone liczby mniejsze, bądź równe n są liczbami pierwszymi. ​

 

 

Zdjęcia źródło: https://heliophysics.wordpress.com/2012/09/28/jak-zmierzyc-ziemie-sloncem/ 

https://www.google.com/url?sa=i&url